校内数论题

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源： 我们定义数列$A$为所有可以表示为两个正整数平方差的正整数，并且按从小到大的顺序排列。即：

$A=\{a\mid a=m^2-n^2,\;m,n\in\mathbb{Z}^+,\;m>n\}$

求$A_{2024}$。

$Sol.$

将$A_i$分为$4k,4k+1,4k+2,4k+3$四种情况。$(k\in N)$

$i.k=0时,0,1,2,3$中$3$符合条件。

$ii.k=1时,4,5,6,7$中$5,7$符合条件。

共$3$个。

当$k>1$时：

$情况1:A_i=4k=(k+1)^2-(k-1)^2$。符合条件。

$情况2:A_i=4+1=(2k+1)^2-(2k)^2$。符合条件。

$情况3:A_i=4k+2=2(2k+1)=2[(k+1)^2-k^2]$。不符合条件。

$情况4:A_i=4k+3=(2k+2)^2-(2k+1)^2$。符合条件。

综上所述，当$k>1$时，每$4$个数中有$3$个符合条件，且当$k=0$或$1$时共$3$个符合条件。

$\therefore A_{2024}=(\lfloor\frac{2024-3}{3}\rfloor+2)\times4+1=2701$。